গাণিতিক প্রত্যাশার উপপাদ্য

গাণিতিক প্রত্যাশা \(E(X)\)-এর উপর বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য আছে, যা দৈব চলক এবং তার প্রত্যাশা সম্পর্কিত বিভিন্ন সম্পর্ক নির্ধারণে সহায়ক। নিচে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য এবং তার প্রমাণ প্রদান করা হলো।

১. রৈখিকতার উপপাদ্য (Linearity of Expectation)

উপপাদ্য:

যদি \(X\) এবং \(Y\) দুটি দৈব চলক হয় এবং \(a, b\) ধ্রুবক হয়, তবে:
\[
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
\]

প্রমাণ:

\[
E(aX + bY) = \sum_{i} \sum_{j} (aX_i + bY_j) \cdot P(X = X_i, Y = Y_j)
\]

এখানে \(P(X = X_i, Y = Y_j)\) হলো \(X\) এবং \(Y\)-এর যুগপৎ (joint) সম্ভাবনা।
এখন গুণসংকেত আলাদা করি:
\[
E(aX + bY) = a \sum_{i} \sum_{j} X_i \cdot P(X = X_i, Y = Y_j) + b \sum_{i} \sum_{j} Y_j \cdot P(X = X_i, Y = Y_j)
\]

যেহেতু \(P(X = X_i)\) এবং \(P(Y = Y_j)\) স্বাধীন হতে পারে বা যুগপৎ হতে পারে, গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
\]

২. ধ্রুবকের প্রত্যাশা (Expectation of a Constant)

উপপাদ্য:

যদি \(c\) একটি ধ্রুবক হয়, তবে:
\[
E(c) = c
\]

প্রমাণ:

ধ্রুবকের গাণিতিক প্রত্যাশা এমন একটি মান, যা নিজেই সেই ধ্রুবকের মান সমান।
\[
E(c) = \sum_{i} c \cdot P(X = x_i) = c \cdot \sum_{i} P(X = x_i)
\]

যেহেতু সম্ভাবনার যোগফল ১, তাই:
\[
E(c) = c
\]

৩. দুই দৈব চলকের যোগের প্রত্যাশা (Expectation of the Sum of Two Random Variables)

উপপাদ্য:

যদি \(X\) এবং \(Y\) দুটি দৈব চলক হয়, তবে:
\[
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
\]

প্রমাণ:

গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[
E(X + Y) = \sum_{i} \sum_{j} (X_i + Y_j) \cdot P(X = X_i, Y = Y_j)
\]

এখন গুণসংকেত আলাদা করে:
\[
E(X + Y) = \sum_{i} \sum_{j} X_i \cdot P(X = X_i, Y = Y_j) + \sum_{i} \sum_{j} Y_j \cdot P(X = X_i, Y = Y_j)
\]

গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
\]

৪. স্বাধীন দৈব চলকের প্রত্যাশা (Independence of Random Variables)

উপপাদ্য:

যদি \(X\) এবং \(Y\) স্বাধীন দৈব চলক হয়, তবে:
\[
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
\]

প্রমাণ:

যেহেতু \(X\) এবং \(Y\) স্বাধীন, তাদের যুগপৎ সম্ভাবনা:
\[
P(X = X_i, Y = Y_j) = P(X = X_i) \cdot P(Y = Y_j)
\]

গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[
E(XY) = \sum_{i} \sum_{j} X_i Y_j \cdot P(X = X_i, Y = Y_j)
\]

এখন যুগপৎ সম্ভাবনার মান বসাই:
\[
E(XY) = \sum_{i} \sum_{j} X_i Y_j \cdot P(X = X_i) \cdot P(Y = Y_j)
\]

গুণসংকেত আলাদা করি:
\[
E(XY) = \left(\sum_{i} X_i \cdot P(X = X_i)\right) \cdot \left(\sum_{j} Y_j \cdot P(Y = Y_j)\right)
\]

এবং:
\[
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
\]

৫. গাণিতিক প্রত্যাশার ধারণাগুলোর এক্সটেনশন

i. মাঝারি মানের জন্য:

যদি \(g(X)\) একটি ফাংশন হয়, তবে:
\[
E(g(X)) = \sum_{i} g(x_i) \cdot P(X = x_i) \quad \text{(বিচ্ছিন্ন চলকের জন্য)}
\]
\[
E(g(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \cdot f(x) dx \quad \text{(ধারাবাহিক চলকের জন্য)}
\]

ii. সামষ্টিক প্রত্যাশা:

\[
E\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i)
\]

সারসংক্ষেপ

গাণিতিক প্রত্যাশার উপপাদ্যগুলো দৈব চলকের আচরণ এবং তাদের সম্পর্ক নির্ণয়ে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। রৈখিকতা, ধ্রুবকের প্রত্যাশা, এবং স্বাধীন দৈব চলকের প্রত্যাশা সহ এই উপপাদ্যগুলো বাস্তব পরিসংখ্যান এবং সম্ভাব্যতা সমস্যার সমাধানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।